试证明函数f(x)=[√(1+x^2)+x-1]/ [√(1+x^2)+x+1]为奇函数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 17:17:02
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8号晚上前!!!!!!!

①∵√(1+x^2)+x≥0
∴函数f(x）定义域为x∈R,
∴定义域是关于原点对称的
②化简：
f(x)=[√(1+x^2)+x+1-2]/ [√(1+x^2)+x+1]
=1-2/[√(1+x^2)+x+1]
=1-2*[√(1+x^2)-(x+1)]/｛[√(1+x^2)+x+1]*[√(1+x^2)-(x+1)]｝
=1-2*[√(1+x^2)-(x+1)]/(-2x)
=[√[1+(x)^2] -1]/x
f(-x)=[√[1+(-x)^2] +1]/(-x)
=-f（x)
即f(-x)=-f(x)
原命题得证。

分母有理化
f(x)=[√(1+x^2)+x-1]/ [√(1+x^2)+x+1]
=（√（1+x²）+x-1）(√(1+x²)-x-1)/((1+x²-(1+x))²)
=((√(1+x²)-1)²-x²)/(-2x)
分子是偶函数 分母是奇函数
复合函数是奇函数